plakaların hatırlattıkları

Geçenlerde lise arkadaşımın tavsiyesiyle (Bülent selamlar) Prime Target [1] dizisini izledim. Matematikçi genç bir adamı bir dizide görmek hep heyecanlandığım bir şey benim için. Diziyi genel olarak beğenmesem de açılışındaki sahne beni etkilediğinden onun çağrıştırdıkları hakkında kısaca yazayım istiyorum.

Cambridge'de bir öğrencinin hocasının odasına girip, geldiğim arabanın plakası 204'tü ne kadar ilginç bir sayı dediği sahnede aa ben bu sahneyi bambaşka bir şekilde biliyorum diyip durdurdum. Elbette her sayı için bir güzellik, ilginçlik bulunabilir ama benim sayılarla ilgili en etkileyici bulduğum sahne Thomas Hardy'nin Hintli genç ve büyüleciyi matematikçi Ramanujan'ın yattığı hastanede lafı nasıl açacağını bilemediği için geldiği taksinin plakasının 1729 olduğunu ve sayının hiçbir özelliği olmadığını söylediği sahnedir. Ramanujan ölüm döşeğindeyken [2] iki farklı pozitif sayının küplerinin toplamı olarak, iki farklı şekilde yazılabilen sayıların (1^3+12^3=9^3+10^3) en küçüğü diyor 1729 için. Hangimiz söze nasıl başlayacağımızı bilemediğimizden böyle deli şeyler söylemiyoruz? Bu plan filmde [3] bambaşka bir anda geçiyor ama zaten sanat gerçeğin bozulup yeniden üretilmesi değil mi? Henüz yeterince sıkılmadıysanız 204'ün de üç ardışık sayının (23, 24, 25) küplerinin toplamının karekökü olduğunu söyleyeyim. Ramanujan hakkında bir kitap daha okuyayım diyenler için bunu [4] da bırakmış olayım.

Plakalar diyince Ahmet Hamdi Tanpınar'ı da anmadan geçmek olmaz diyerek Abdullah Efendinin Rüyaları öyküsünden [5] bir alıntı yapmamı mazur görün isterim:

"Gelirken bindiği otomobilin numarasını hatırladı: 1873. Rakamları mutlak kıymetleriyle tekrar topladı. Hepsi 19 ediyordu. 1+9 = 10. Sıfırı atıyordu. Elde kalan birdi; 1 onun çok iyi bir rakamıydı, evvela tekti ve sonra vahdetin ve vahdaniyetin rakamıydı."

Tanpınar yazdıklarını okumaya doyamadığım, Türk edebiyatında neredeyse herkesi etkilemiş bir büyük yazar olduğundan onu yeterince övecek (sanki böyle bir şeye ihtiyacı varmış gibi) bir şey yazmak çok zor benim için.

Bu akşam eve geldiğim taksinin plakası 183'tü. O da benim çok sevdiğim sayılardandır. Buraya kadar okuduysanız sayı nasıl seviliyor demiyor olmalısınız ama ben yine de 183'ün içindeki güzelliklerden birini yazayım [lütfen yaz ne yazacaksan artık]. 183'ten küçük ve onunla arasında asal olan sayılar 120 tane. Şimdi 120 için bakalım ve sonuç 32. 32'den küçük ve 32 ile arasında asal sayıların sayısı da kolayca 16 olarak bulunur. Aradığımız sonuçlar 16 için 8, 8 için 4, 4 için 2 ve 2 için 1 olur. Şimdi bunları toplayalım

120+32+16+8+4+2+1 = 183

İlk bakışta bu büyülü özelliği sağlayan çok sayı olabilir gibi görünse de 10^11'den küçük sadece 57 sayı var [6] bu harika durumda olan.

Bazen aya bakar hüzünlenirsin, bazen de kıytırık bir taksinin plakasında güzellik bulursun.

[1] https://www.imdb.com/title/tt31186958/ 

[2] https://www.goodreads.com/book/show/124988248-s-f-rdan-sonsuza-ramanujan-ile-ke-i-en-yollar-m

[3] https://www.imdb.com/title/tt0787524/ 

[4] https://www.goodreads.com/book/show/111368900-sonsuzlugu-taniyan-adam 

[5] https://www.goodreads.com/book/show/35494650-abdullah-efendinin-r-yalar 

[6] https://oeis.org/A082897 

 

İnsan düşünemediği kavramlarla öğrenebilir mi?

Düşünce hayatımızda kelimelerin büyük önemi var. Bir kavramla ilgili bilgimiz onu açıklayabildiğimiz kelimelerle büyük ölçüde belirleniyor. Özellikle lisans eğitimine kadar, hatta o aşamada bile, yeni duyduğumuz bir kavramı aklımızda canlandırabilmemiz çok önemli. Örneğin ben belgelendirme kelimesini duyduğumda kelime Türkçe olduğu için belge kökünden geldiğini anlayıp belgelendirme kavramının neyle ilgili olduğunu anlayabiliyorum. Benzer şekilde documentation'ı duyduğumda da kelime İngilizce ve document'in anlamını biliyorum yine kavramla ilgili bir fikrim oluyor. Şimdi dokümantasyon kelimesine bakalım; İngilizce bilmeyen biri için (neredeyse ülkenin tamamı için) bu kelime hiçbir anlam ifade etmiyor. İnsan belli bir eğitim seviyesinden sonra anlamını okulda, çalışma hayatında, günlük hayatında bilmediği kelimelerle de düşünebiliyor ama bu liseye kadar olan eğitim hayatımızda çoğunlukla yapamadığımız bir şey. Yaşımız daha küçükken ve daha az şey bilirken ancak üzerinde düşünebildiğimiz kavramları gerçekten öğrenebiliyoruz.

Bu konuya ikna olabilmeniz için size basit bir deney önermek isterim. Denek olarak meslekten matematikçi olmayan herhangi birini, mümkünse bir lise öğrencisini seçebilirsiniz. Deneyin adımlarını şu sırayla yapın:

• Rasyonel sayı nedir diye sorun. 7. sınıfta rasyonel sayı kavramı çocuklara anlatılıyor (öğretilemediğini göreceğiz) Normalde bu soru için alacağınız cevap a/b (a bölü b) şeklinde yazılabilen sayılardır olacaktır. b'nin sıfır olamaması gibi ayrıntılara takılmayalım. Bu soruya çoğunlukla doğru cevap alacaksınız.
• Rasyonel ne demek diye sorun. Bu soruya akla uygun, akılcı, ussal gibi cevaplar almanızı bekliyoruz. Bu soruya çoğunlukla doğru cevap alamayacaksınız. Deneğiniz rasyonel kavramını bildiğini ama açıklayamadığını söyleyecektir sıklıkla. Doğru cevabı söyleyip devam edelim.
• İrrasyonel sayı nedir diye sorun. Cevabı siz de hatırlamıyorsanız sorun değil :) Bu soru için de doğru cevap a/b (a bölü b) şeklinde yazılamayan sayılardır olmalı. Rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan gerçek sayılardır gibi bir cevap beklemiyoruz. Bu kavramı bildiğini gösteren bir ifade bize yetecektir.
• İrrasyonel ne demek diye sorun. Rasyonel olmayan :) cevabını almanızın ardından akıl dışı, ussal olmayan diyerek doğru cevabı verelim.

Buraya kadar olan sorularla sanki bir matematik sınavı yapıyormuşuz gibi gelmiş olabilir ama niyetimiz bu değil. Yukarıdaki sorulara doğru cevap versin veya veremesin ortalama birinin rasyonel ve irrasyonel sayılarla işlem yapabildiğini göreceksiniz. Deneğiniz eğer yeterince büyükse ve bunu yapamıyorsa sorun başka demektir zaten. Burada cevaplamak istediğimiz soru yukarıdaki bilgilerin gerçekten irrasyonel sayı kavramını öğretmeye yetip yetmediği olacak. Son sorumuz:

• İrrasyonel sayılarda akıl dışı olan nedir diye sorun. Deneğiniz bunu daha önce hiç düşünmemiş olacaktır muhtemelen. Bir sayı a/b şeklinde yazılamıyorsa neden akıl dışı olsun, karekök 2 neden akıl dışı, onun a/b şeklinde yazılamadığını gösterebilir misin gibi sorular en az 6 yıl matematik dersi dinlemiş birinin cevaplaması gereken sorular değil mi? 

Çok az denek bu soruya tatmin edici bir cevap verebilecektir. O halde biz verelim. Matematikçiler eskiden doğadaki uzunlukların sayıların oranlarıyla ölçülebileceğini düşünüyorlardı. Böyle düşünen birine bir dik üçgen versek bütün kenarlarını aynı cetvelle ölçebilmesi gerekir. Dik üçgenin iki kenarının uzunluğu 1 birim olsun. Hipotenüsün uzunluğunu meşhur pisagor teoreminden biliyoruz kök 2 birimdir. Yine biliyoruz ki karekök 2, a/b şeklinde yazılamayan bir sayıdır. Yani hipotenüsü cetvelimizin üzerine yerleştirsek bir ve yalnız bir noktaya karşılık gelirken biz o noktayı daha önceden olduğu gibi (rasyonel sayılarda yaptığımız gibi) okuyamayız ama o uzunluğu ölçebiliriz de. İşte irrasyonel sayıların matematikçilere akıl dışı gelen yanı burasıdır.

Liseyi bitirene kadar çocuklarımıza altı yıl rasyonel ve irrasyonel sayıları anlatıyoruz ama bu sayıların adlarının nereden geldiğini merak ettirip sordurmuyoruz. Çocuklarımızın "akıl dışı sayı mı olur öğretmenim?" sorusunu sormamalarının nedenlerinden birinin kavramların bilmedikleri kelimelerle öğretilmeye, ezberletilmeye çalışılması olduğunu düşünüyorum. Bu kavramları akılcı (rasyonel), akıl dışı (irrasyonel) karşılıklarıyla öğretmeye çalışsaydık çocuklar akıl dışı sayı mı olur derlerdi hemen. Oranlı ve oransız sayılar desek de aynı etkiyi elde edebilirdik.

Çocuklar bu kavramlar hakkında düşünmeyecekse neden anlatıyoruz bunları? Mühendislik yapmayacak veya bilimin bir alanında çalışmayacak kimsenin 2'nin karekökünü almaya veya pi'nin basamaklarını hesaplamaya ihtiyacı yoktur. Karekök 2'yi 1,4 alan biri doğruya çok yakın bir hesap yapabilir. Pi'yi 3 alan da çok şey kaybetmez. Buradan bu kavramlar hakkında düşünmemeliyiz anlamı çıkarırsak çok hata ederiz. Ediyoruz.

Çocuklarımızı düşünmeyen, sorgulamayan, merak etmeyen insanlar olarak yetiştirmeyelim.

Meraklısı için ilave soru: İmajiner sayıları okulda öğrenmiş bir lise öğrencisine -i sıfırdan büyük mü küçük mü diye sorun. İmajiner sayılarla işlem yapmayı bilenlerin pek azının soruya doğru cevap vermesinde nice ibretler var.

Tam sayılarda kalansız bölme

Ortaokulda hepimizin öğrendiğimizi sandığımız ama pek azımızın öğrendiği bir konu tam sayılarda kalansız bölme konusu. Diğer bütün konular gibi bu konu da sadece kuralları budur diye anlatıldığı için sadece ikiye, üçe ve beşe bölme kurallarını aklımızda tutabiliyoruz. Onların da neden öyle olduğunu bilmediğimiz gibi sorgulamıyoruz bile. Bu konuyu neredeyse 15 yıldır bilgisayar mühendisliği birinci sınıf öğrencilerine soruyorum ve doğru öğrenmiş neredeyse kimseyi görmedim. Aslında o kadar kolay bir konu ki bir kere doğru anlatılsa insan istese bile unutamaz. Muhtemelen bu yazıyı okuyan kimsenin işine yaramayacaktır ama çocuklarınıza, hala kızına, emmioğluna falan anlatırsınız diyerek kısaca açıklamak istiyorum.

Önce hızlıca bildiğimiz kuralları hatırlayalım. Bir tam sayının ikiye bölünebilmesi için son rakamının (birler hanesinin) 2, 4, 6, 8 veya 0 olması gerekir. Beşe bölünmesi için ise birler hanesinin 5 veya 0 olması gerekiyor. Buraya kadar çok mantıklı görünen kurallar dizisi konu üçe bölünmeye geldiğinde değişiyor. Artık son basamağa değil bütün basamaklardaki rakamların toplamına bakmak gerekiyor. Bütün rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa sayı da bölünür diye öğretiyoruz çocuklara. Evet doğrusu bu ama ne alakası var sayının üçe bölünmesiyle rakamlarının toplamının üçe bölünmesinin? Öğrencilerin çok büyük çoğunluğu bu soruyu sormuyor bile, soranları da öğretmenler kural böyle diyerek geçiştiriyor. Matematiği bile böyle öğrettiğimiz çocuklar ileride hiçbir şeyi sorgulamayan büyüklere dönüşüyorlar. Halbuki neden 13 üçe bölünmüyor da 12 ikiye bölünüyor (son rakama bakıyorsak aynı kriteri sağlıyor ikisi de) veya 15 üçe bölünüyor da 11 ikiye bölünmüyor (rakamları toplamına bakarsak böyle olmalıydı) soruları akıllara bile gelmiyor.

Hele bir yediye bölünme kuralı var ki akıllara zarar. Üniversiteye gelmiş ve bu kuralı hatırlayan kimse olmuyor. Aşağıya vikipedi'den alıntılıyorum, neden kimsenin hatırlamadığını hemen göreceğiz:

Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru) a b c d e f 2 3 1 2 3 1 - + sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır: ( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı) Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Ayrıca bu sayı 10a + b olarak yazıldığında a - 2b sayısı 7'ye bölünüyorsa, asıl sayı 7'ye bölünebilir.

Aşağıdaki gibi anlatılsa hepimiz üçe bölünme kuralının neden sayının basamak değerlerinin toplamıyla ilgili olduğunu kolayca görebiliriz:

Bu örnek üç basamaklı bir sayı için yazıldı ama sayının kaç basamaklı olmasıyla ilgisi olmadan genişletilebileceği herkes için açık olmalı. Bir kere böyle düşünmeye başlayınca ikiye bölünme kuralı da kolayca yazılabilir:

Gördüğümüz gibi aslında ikiye ve üçe kalansız bölme kurallarında bambaşka şeylere bakmıyoruz ama bu kadar kolay bir konu neden doğru anlatılmıyor anlamak çok güç doğrusu. Son olarak yediye bölünme kuralını bir kere de biz yazalım. Bunu da unutacaksınız ama gerektiğinde çıkartabileceğinizi bileceksiniz. Bu kuralı dört basamaklı sayılara ve daha fazlasına genişletmek de son derece kolay olacaktır:

Ülkede bir şeyler iyi yapılsın istiyorsak sadece kuralları ezberletmeye çalışmak yerine matematiğin içindeki güzellikleri ve yapılan işlerin doğasını anlatmalıyız çocuklarımıza. Yaptığı işlemi neden yaptığını bile bilemeyen biri nasıl onun üstüne bir şey ekleyebilir?