İnsan düşünemediği kavramlarla öğrenebilir mi?

Düşünce hayatımızda kelimelerin büyük önemi var. Bir kavramla ilgili bilgimiz onu açıklayabildiğimiz kelimelerle büyük ölçüde belirleniyor. Özellikle lisans eğitimine kadar, hatta o aşamada bile, yeni duyduğumuz bir kavramı aklımızda canlandırabilmemiz çok önemli. Örneğin ben belgelendirme kelimesini duyduğumda kelime Türkçe olduğu için belge kökünden geldiğini anlayıp belgelendirme kavramının neyle ilgili olduğunu anlayabiliyorum. Benzer şekilde documentation'ı duyduğumda da kelime İngilizce ve document'in anlamını biliyorum yine kavramla ilgili bir fikrim oluyor. Şimdi dokümantasyon kelimesine bakalım; İngilizce bilmeyen biri için (neredeyse ülkenin tamamı için) bu kelime hiçbir anlam ifade etmiyor. İnsan belli bir eğitim seviyesinden sonra anlamını okulda, çalışma hayatında, günlük hayatında bilmediği kelimelerle de düşünebiliyor ama bu liseye kadar olan eğitim hayatımızda çoğunlukla yapamadığımız bir şey. Yaşımız daha küçükken ve daha az şey bilirken ancak üzerinde düşünebildiğimiz kavramları gerçekten öğrenebiliyoruz.

Bu konuya ikna olabilmeniz için size basit bir deney önermek isterim. Denek olarak meslekten matematikçi olmayan herhangi birini, mümkünse bir lise öğrencisini seçebilirsiniz. Deneyin adımlarını şu sırayla yapın:

• Rasyonel sayı nedir diye sorun. 7. sınıfta rasyonel sayı kavramı çocuklara anlatılıyor (öğretilemediğini göreceğiz) Normalde bu soru için alacağınız cevap a/b (a bölü b) şeklinde yazılabilen sayılardır olacaktır. b'nin sıfır olamaması gibi ayrıntılara takılmayalım. Bu soruya çoğunlukla doğru cevap alacaksınız.
• Rasyonel ne demek diye sorun. Bu soruya akla uygun, akılcı, ussal gibi cevaplar almanızı bekliyoruz. Bu soruya çoğunlukla doğru cevap alamayacaksınız. Deneğiniz rasyonel kavramını bildiğini ama açıklayamadığını söyleyecektir sıklıkla. Doğru cevabı söyleyip devam edelim.
• İrrasyonel sayı nedir diye sorun. Cevabı siz de hatırlamıyorsanız sorun değil :) Bu soru için de doğru cevap a/b (a bölü b) şeklinde yazılamayan sayılardır olmalı. Rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan gerçek sayılardır gibi bir cevap beklemiyoruz. Bu kavramı bildiğini gösteren bir ifade bize yetecektir.
• İrrasyonel ne demek diye sorun. Rasyonel olmayan :) cevabını almanızın ardından akıl dışı, ussal olmayan diyerek doğru cevabı verelim.

Buraya kadar olan sorularla sanki bir matematik sınavı yapıyormuşuz gibi gelmiş olabilir ama niyetimiz bu değil. Yukarıdaki sorulara doğru cevap versin veya veremesin ortalama birinin rasyonel ve irrasyonel sayılarla işlem yapabildiğini göreceksiniz. Deneğiniz eğer yeterince büyükse ve bunu yapamıyorsa sorun başka demektir zaten. Burada cevaplamak istediğimiz soru yukarıdaki bilgilerin gerçekten irrasyonel sayı kavramını öğretmeye yetip yetmediği olacak. Son sorumuz:

• İrrasyonel sayılarda akıl dışı olan nedir diye sorun. Deneğiniz bunu daha önce hiç düşünmemiş olacaktır muhtemelen. Bir sayı a/b şeklinde yazılamıyorsa neden akıl dışı olsun, karekök 2 neden akıl dışı, onun a/b şeklinde yazılamadığını gösterebilir misin gibi sorular en az 6 yıl matematik dersi dinlemiş birinin cevaplaması gereken sorular değil mi? 

Çok az denek bu soruya tatmin edici bir cevap verebilecektir. O halde biz verelim. Matematikçiler eskiden doğadaki uzunlukların sayıların oranlarıyla ölçülebileceğini düşünüyorlardı. Böyle düşünen birine bir dik üçgen versek bütün kenarlarını aynı cetvelle ölçebilmesi gerekir. Dik üçgenin iki kenarının uzunluğu 1 birim olsun. Hipotenüsün uzunluğunu meşhur pisagor teoreminden biliyoruz kök 2 birimdir. Yine biliyoruz ki karekök 2, a/b şeklinde yazılamayan bir sayıdır. Yani hipotenüsü cetvelimizin üzerine yerleştirsek bir ve yalnız bir noktaya karşılık gelirken biz o noktayı daha önceden olduğu gibi (rasyonel sayılarda yaptığımız gibi) okuyamayız ama o uzunluğu ölçebiliriz de. İşte irrasyonel sayıların matematikçilere akıl dışı gelen yanı burasıdır.

Liseyi bitirene kadar çocuklarımıza altı yıl rasyonel ve irrasyonel sayıları anlatıyoruz ama bu sayıların adlarının nereden geldiğini merak ettirip sordurmuyoruz. Çocuklarımızın "akıl dışı sayı mı olur öğretmenim?" sorusunu sormamalarının nedenlerinden birinin kavramların bilmedikleri kelimelerle öğretilmeye, ezberletilmeye çalışılması olduğunu düşünüyorum. Bu kavramları akılcı (rasyonel), akıl dışı (irrasyonel) karşılıklarıyla öğretmeye çalışsaydık çocuklar akıl dışı sayı mı olur derlerdi hemen. Oranlı ve oransız sayılar desek de aynı etkiyi elde edebilirdik.

Çocuklar bu kavramlar hakkında düşünmeyecekse neden anlatıyoruz bunları? Mühendislik yapmayacak veya bilimin bir alanında çalışmayacak kimsenin 2'nin karekökünü almaya veya pi'nin basamaklarını hesaplamaya ihtiyacı yoktur. Karekök 2'yi 1,4 alan biri doğruya çok yakın bir hesap yapabilir. Pi'yi 3 alan da çok şey kaybetmez. Buradan bu kavramlar hakkında düşünmemeliyiz anlamı çıkarırsak çok hata ederiz. Ediyoruz.

Çocuklarımızı düşünmeyen, sorgulamayan, merak etmeyen insanlar olarak yetiştirmeyelim.

Meraklısı için ilave soru: İmajiner sayıları okulda öğrenmiş bir lise öğrencisine -i sıfırdan büyük mü küçük mü diye sorun. İmajiner sayılarla işlem yapmayı bilenlerin pek azının soruya doğru cevap vermesinde nice ibretler var.